수학 / 선형대수학
선형대수학
- 7.2.1. Left and Right Inverses and the Pseudoinverse 네 기본 부분공간 관점에서 left inverse, right inverse, projection, pseudoinverse를 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 33: Left and Right Inverses; Pseudoinverse 이번 강의는 left inverse, right inverse, pseudoinverse를 다룬다. #선형대수학
- 8.3. The Search for a Good Basis change of basis의 선형대수 구조와 JPEG, wavelet, image compression 예시를 함께 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 31: Change of Basis; Image Compression 이번 강의는 change of basis, 즉 기저변환을 다룬다. #선형대수학
- 8.2. The Matrix of a Linear Transformation basis와 coordinates를 선택하면 linear transformation이 matrix로 표현되는 과정과 projection, derivative 예시 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices 앞 글에서는 linear transformation의 아이디어를 봤다. #선형대수학
- 8.1. The Idea of a Linear Transformation 좌표와 행렬을 잠시 내려놓고 선형변환의 의미, 예시, 비예시, 선형성 조건을 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices 이번 강의는 linear transformation, 즉 선형변환을 다룬다. #선형대수학
- 7.2. Bases and Matrices in the SVD rank-one 행렬의 SVD 예시와 네 기본 부분공간의 orthonormal basis 관점에서 SVD 이해하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 29: Singular Value Decomposition 앞 글에서는 SVD의 기본 형태와 full-rank 예시를 봤다. #선형대수학
- 7.1. Image Processing by Linear Algebra SVD의 기본 형태, 행공간과 열공간의 직교기저, A^TA와 AA^T로 singular vector를 구하는 방법 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 29: Singular Value Decomposition 이번 강의는 singular value decomposition, 즉 SVD를 다룬다. #선형대수학
- 6.2.1. Similar Matrices and Jordan Form similar matrix의 의미, 대각화와의 관계, 반복 고유값에서 Jordan form이 필요한 이유 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 28: Similar Matrices and Jordan Form 이번 강의의 핵심 주제는 similar matrices이다. #선형대수학
- 6.5. Positive Definite Matrices positive definite matrix의 판별 조건, quadratic form, 최소점, ellipse와 ellipsoid의 기하적 의미 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 27: Positive Definite Matrices and Minima 이번 강의는 positive definite matrix를 다룬다. #선형대수학
- 6.4.1. Complex Matrices and Fast Fourier Transform 대칭행렬의 복소수 버전인 Hermitian matrix, unitary matrix, Fourier matrix와 FFT의 기본 아이디어 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 26: Complex Matrices; Fast Fourier Transform 이번 강의는 positive definite matrix로 들어가기 직전에 복소수 행렬을 정리하는 연결 강의이다. #선형대수학
- 6.4. Symmetric Matrices 대칭행렬의 실수 고유값, 직교 고유벡터, spectral theorem, positive definite matrix의 기본 판별법 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 25: Symmetric Matrices and Positive Definiteness 이번 강의는 symmetric matrix, 즉 대칭행렬을 다룬다. #선형대수학
- 10.3. Markov Matrices, Population, and Economics Markov 행렬의 정의, 고유값 1, steady state, 인구 이동 모델과 Fourier series로 이어지는 직교기저 관점 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 24: Markov Matrices; Fourier Series 이번 강의는 고유값과 고유벡터의 응용을 다루는 강의이다. #선형대수학
- 6.3. Systems of Differential Equations 고유값과 고유벡터로 선형 미분방정식 시스템을 풀고, 행렬지수 e^{At}와 안정성을 이해하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 23: Differential Equations and exp(At) 이번 강의는 선형대수학을 미분방정식 시스템에 적용하는 내용이다. #선형대수학
- 6.2. Diagonalizing a Matrix 고유벡터 행렬을 이용한 대각화, 행렬의 거듭제곱, 대각화 가능 조건, Fibonacci 수열 예시 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 22: Diagonalization and Powers of A 지난 강의에서는 eigenvalue와 eigenvector의 기본 방정식을 배웠다. #선형대수학
- 6.1. Introduction to Eigenvalues 고유값과 고유벡터의 정의, characteristic equation, projection, permutation, rotation matrix 예시 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 21: Eigenvalues and Eigenvectors 이번 강의부터 eigenvalue와 eigenvector를 다룬다. #선형대수학
- 5.3. Cramer's Rule, Inverses, and Volumes 크래머 공식, 여인수로 표현한 역행렬, 행렬식이 나타내는 넓이와 부피의 의미 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 20: Cramer's rule, inverse matrix, and volume 이번 내용은 행렬식의 마지막 응용에 관한 내용이다. 앞에서는 행렬식의 성질과 계산 공식을 배웠다. 이제는 그 행렬식이 실제로 어디에 쓰이는지를 본다. #선형대수학
- 5.2. Permutations and Cofactors 순열 공식과 cofactor 전개로 determinant를 계산하는 방법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 19: Determinant formulas and cofactors 이번 강의는 determinant에 대한 두 번째 강의이다. #선형대수학
- 5.1. The Properties of Determinants 행렬식의 기본 성질과 소거법, 가역성, 곱셈 법칙, 전치와의 관계 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 18: Properties of determinants 이번 강의부터는 선형대수학의 초점이 다시 정사각행렬로 이동한다. #선형대수학
- 4.4. Orthonormal Bases and Gram-Schmidt 직교기저, 직교행렬, 그람-슈미트 과정, QR 분해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 17: Orthogonal matrices and Gram-Schmidt 이번 강의는 다음을 다룬다. 직교기저와 정규직교기저 직교행렬 정규직교기저를 사용하면 투영과 최소제곱 계산이 왜 쉬워지는지 일반 독립 벡터들을 정규직교 벡터들로 바꾸는 그람-슈미트 과정 그람-슈미트 과정을 행렬 언어로 표현한 QR 분해 #선형대수학
- 4.3. Least Squres Approximations 최소제곱법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 16: Projection matrices and least squares 이번 강의의 핵심은 다음 세 가지이다. 프로젝션 행렬 #선형대수학
- 4.2. Projection 투영 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 15: Projections onto subspaces 프로젝션이란 어떤 벡터 를 어떤 부분공간 위로 가장 가깝게 내리는 것이라고 볼 수 있다. 가장 먼저 1차원 부분공간, 즉 가 만드는 직선 위로 를 내리는 경우를 생각할 수 있다. #선형대수학
- 4.1. Orthogonality of the Four Subspaces 직교와 부분공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 14: Orthogonal vectors and subspaces 이번 강의의 핵심 주제는 직교성(orthogonality) 이다. 직교성은 벡터끼리, 부분공간끼리, 기저끼리 정의할 수 있으며, 기본적으로 서로 90도를 이룬다는 뜻이다. #선형대수학
- 3.5. The Four Fundamental Subspaces 부분공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 12: Graphs, networks, incidence matrices 행렬 는 입력 공간 과 출력 공간 내에 4개의 핵심적인 부분공간(Subspace)을 정의한다. 이를 이해하는 것이 선형대수학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra)의 핵심이다. 열공간과 좌영공간이 서로 직교 열공간의 벡터(A의 한 열)과 좌영공간의 벡터 의 직교: 열공간이므로, 로 표기. ( 의 한 행 = 의 한 열) #선형대수학
- 3.4. Independence, Basis, and Dimension 종속, 기저, 차원 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 10: The four fundamental subspaces 벡터들의 집합 이 독립(Independent) 이라는 것은, 이들의 선형 결합이 영벡터가 되는 유일한 방법이 모든 계수가 0인 경우뿐이라는 뜻이다. 식: 은 오직 일 때만 성립한다. 만약 0이 아닌 가 하나라도 존재해서 을 만들 수 있다면, 그 벡터들은 종속(Dependent) 이다. 교재의 다른 표현: "하나의 벡터가 다른 벡터들의 조합으로 표현된다면 종속이다." () 평면에서의 예시 독립: 두 벡터가 일직선상에 있지 않을 때. 예: 과 . 종속: 두 벡터가 원점을 지나는 같은 직선 위에 있을 때. 예: , . 이때 이므로, 계수가 0이 아닌 해가 존재한다. 종속: 세 개의 벡터가 에 있을 때. ==평면 위의 세 벡터는 반드시 종속==이다. 공간에서의 예시 독립: 세 벡터가 같은 평면(Plane) 위에 있지 않 #선형대수학
- 3.3. The Complete Solution to Ax=b 완전해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 9: Independence, basis, and dimension 의 완전해는 의 형태이다. 특수해(Particular Solution ) 는 를 해결하여 구한다. 여기서 는 특수해(particular solution)이고, 은 영공간(nullspace)에 존재하는 해이다. 기하학적으로 의 해집합은 의 해(영공간)를 만큼 평행 이동한 선(또는 평면)과 같다. 를 풀기 위해 행렬 에 벡터 를 붙인 첨가 행렬 를 구성한다. 소거법을 통해 를 형태로 변환하면, 원래 방정식 는 와 동치(equivalent)가 된다. 방정식이 해를 가지려면(solvable), 의 영행(zero rows)에 대응하는 의 성분이 반드시 이어야 한다. 즉, 의 #선형대수학
- 3.2. The Nullspace of A, Solving Ax=0 and Rx=0 영공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions 영공간 는 을 만족하는 모든 해 벡터들의 집합이다. 이 해 는 (n-차원 공간)에 속한다. (영벡터)는 항상 영공간 에 포함된다. 는 의 부분공간(subspace)이다. (즉, 영공간 내의 벡터끼리 더하거나 스칼라 배를 해도 여전히 영공간에 속한다.) 행렬 에 기본 행 연산(소거)을 적용하여 상삼각행렬 나 기약 행 사다리꼴 을 만들어도 영공간은 변하지 않는다. 따라서 의 해를 구하는 것은 의 해를 구하는 것과 같다. 피벗(Pivot): 소거 후 각 행에서 0이 아닌 첫 번째 성분. 피벗 변수 (Pivot Variables): 피벗을 포함하는 열(column)에 해당하는 변수들이다. 자유 변수 (Free Variables): 피벗이 없는 열에 해당하는 변수들이다. 랭크 (Rank) #선형대수학
- 3.1. Space of Vector 벡터공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 6: Column space and nullspace 벡터 공간은 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있는 벡터들의 집합이다. #선형대수학
- 2.7 Transpose and Permutations 전치, 순열 행렬 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 5: Transposes, permutations, spaces R^n 전치 행렬 와 순열 행렬 는 선형대수에서 매우 자주 등장하는 기본 행렬이다. #선형대수학
- 2.6 Elimination = Factorization, A=LU 제거, 인수분해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 4: LU and LDU factorization 가우스 소거법에서 소거 과정을 나타내는 행렬을 라고 할 때, 그 역행렬은 로 나타낼 수 있다. #선형대수학
- 2.5. Inverse Matrices 역행렬의 정의, 가역성 판별, 소거행렬의 역, Gauss-Jordan 소거법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 3: Multiplication and inverse matrices 정사각행렬 에 대해 어떤 행렬 이 존재해서 다음을 만족하면, 를 invertible matrix라고 한다. #선형대수학
- 2.4 Rules for Matrix Operation 행렬 연산 규칙 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 3: Multiplication and inverse matrices 행렬 와 행렬 를 곱하면, 결과 행렬 의 형상은 이다. #선형대수학
- 2.3 Elimination Using Matrices 행렬 이용 소거 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 2: Elimination with matrices 다음 선형 방정식계를 생각한다. #선형대수학
- 2.2 The Idea of Elimination 소거법의 개념 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 2: Elimination with matrices 가우스 소거법은 선형 방정식계 를 위삼각행렬 형태의 로 바꾼 뒤, 역대입(back substitution)으로 해를 구하는 방법이다. #선형대수학
- 2.1. Vectors and Linear Equations 벡터와 선형방정식 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 선형 방정식은 여러 미지수의 선형결합으로 어떤 벡터 를 만드는 문제이다. #선형대수학
- 1.3. Matrix 행렬곱, 차분행렬, cyclic difference, 선형독립과 선형종속 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 행렬과 벡터의 곱 는 여러 관점에서 볼 수 있다. #선형대수학
- 1.2. Lengths and Dot Products 길이와 내적 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 내적은 두 벡터의 대응되는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더한 값이다. #선형대수학
- 1.1. Row Picture and Column Picture 선형방정식 Ax=b를 행 관점, 열 관점, 행렬 관점으로 바라보는 첫 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 선형대수학에서 가장 기본이 되는 문제는 선형방정식의 해를 구하는 것이다. #선형대수학
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- 7.2.1. Left and Right Inverses and the Pseudoinverse 네 기본 부분공간 관점에서 left inverse, right inverse, projection, pseudoinverse를 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 33: Left and Right Inverses; Pseudoinverse 이번 강의는 left inverse, right inverse, pseudoinverse를 다룬다. #선형대수학
- 8.3. The Search for a Good Basis change of basis의 선형대수 구조와 JPEG, wavelet, image compression 예시를 함께 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 31: Change of Basis; Image Compression 이번 강의는 change of basis, 즉 기저변환을 다룬다. #선형대수학
- 8.2. The Matrix of a Linear Transformation basis와 coordinates를 선택하면 linear transformation이 matrix로 표현되는 과정과 projection, derivative 예시 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices 앞 글에서는 linear transformation의 아이디어를 봤다. #선형대수학
- 8.1. The Idea of a Linear Transformation 좌표와 행렬을 잠시 내려놓고 선형변환의 의미, 예시, 비예시, 선형성 조건을 정리하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices 이번 강의는 linear transformation, 즉 선형변환을 다룬다. #선형대수학
- 7.2. Bases and Matrices in the SVD rank-one 행렬의 SVD 예시와 네 기본 부분공간의 orthonormal basis 관점에서 SVD 이해하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 29: Singular Value Decomposition 앞 글에서는 SVD의 기본 형태와 full-rank 예시를 봤다. #선형대수학
- 7.1. Image Processing by Linear Algebra SVD의 기본 형태, 행공간과 열공간의 직교기저, A^TA와 AA^T로 singular vector를 구하는 방법 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 29: Singular Value Decomposition 이번 강의는 singular value decomposition, 즉 SVD를 다룬다. #선형대수학
- 6.2.1. Similar Matrices and Jordan Form similar matrix의 의미, 대각화와의 관계, 반복 고유값에서 Jordan form이 필요한 이유 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 28: Similar Matrices and Jordan Form 이번 강의의 핵심 주제는 similar matrices이다. #선형대수학
- 6.5. Positive Definite Matrices positive definite matrix의 판별 조건, quadratic form, 최소점, ellipse와 ellipsoid의 기하적 의미 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 27: Positive Definite Matrices and Minima 이번 강의는 positive definite matrix를 다룬다. #선형대수학
- 6.4.1. Complex Matrices and Fast Fourier Transform 대칭행렬의 복소수 버전인 Hermitian matrix, unitary matrix, Fourier matrix와 FFT의 기본 아이디어 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 26: Complex Matrices; Fast Fourier Transform 이번 강의는 positive definite matrix로 들어가기 직전에 복소수 행렬을 정리하는 연결 강의이다. #선형대수학
- 6.4. Symmetric Matrices 대칭행렬의 실수 고유값, 직교 고유벡터, spectral theorem, positive definite matrix의 기본 판별법 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 25: Symmetric Matrices and Positive Definiteness 이번 강의는 symmetric matrix, 즉 대칭행렬을 다룬다. #선형대수학
- 10.3. Markov Matrices, Population, and Economics Markov 행렬의 정의, 고유값 1, steady state, 인구 이동 모델과 Fourier series로 이어지는 직교기저 관점 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 24: Markov Matrices; Fourier Series 이번 강의는 고유값과 고유벡터의 응용을 다루는 강의이다. #선형대수학
- 6.3. Systems of Differential Equations 고유값과 고유벡터로 선형 미분방정식 시스템을 풀고, 행렬지수 e^{At}와 안정성을 이해하기 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 23: Differential Equations and exp(At) 이번 강의는 선형대수학을 미분방정식 시스템에 적용하는 내용이다. #선형대수학
- 6.2. Diagonalizing a Matrix 고유벡터 행렬을 이용한 대각화, 행렬의 거듭제곱, 대각화 가능 조건, Fibonacci 수열 예시 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 22: Diagonalization and Powers of A 지난 강의에서는 eigenvalue와 eigenvector의 기본 방정식을 배웠다. #선형대수학
- 6.1. Introduction to Eigenvalues 고유값과 고유벡터의 정의, characteristic equation, projection, permutation, rotation matrix 예시 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 21: Eigenvalues and Eigenvectors 이번 강의부터 eigenvalue와 eigenvector를 다룬다. #선형대수학
- 5.3. Cramer's Rule, Inverses, and Volumes 크래머 공식, 여인수로 표현한 역행렬, 행렬식이 나타내는 넓이와 부피의 의미 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 20: Cramer's rule, inverse matrix, and volume 이번 내용은 행렬식의 마지막 응용에 관한 내용이다. 앞에서는 행렬식의 성질과 계산 공식을 배웠다. 이제는 그 행렬식이 실제로 어디에 쓰이는지를 본다. #선형대수학
- 5.2. Permutations and Cofactors 순열 공식과 cofactor 전개로 determinant를 계산하는 방법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 19: Determinant formulas and cofactors 이번 강의는 determinant에 대한 두 번째 강의이다. #선형대수학
- 5.1. The Properties of Determinants 행렬식의 기본 성질과 소거법, 가역성, 곱셈 법칙, 전치와의 관계 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 18: Properties of determinants 이번 강의부터는 선형대수학의 초점이 다시 정사각행렬로 이동한다. #선형대수학
- 4.4. Orthonormal Bases and Gram-Schmidt 직교기저, 직교행렬, 그람-슈미트 과정, QR 분해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 17: Orthogonal matrices and Gram-Schmidt 이번 강의는 다음을 다룬다. 직교기저와 정규직교기저 직교행렬 정규직교기저를 사용하면 투영과 최소제곱 계산이 왜 쉬워지는지 일반 독립 벡터들을 정규직교 벡터들로 바꾸는 그람-슈미트 과정 그람-슈미트 과정을 행렬 언어로 표현한 QR 분해 #선형대수학
- 4.3. Least Squres Approximations 최소제곱법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 16: Projection matrices and least squares 이번 강의의 핵심은 다음 세 가지이다. 프로젝션 행렬 #선형대수학
- 4.2. Projection 투영 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 15: Projections onto subspaces 프로젝션이란 어떤 벡터 를 어떤 부분공간 위로 가장 가깝게 내리는 것이라고 볼 수 있다. 가장 먼저 1차원 부분공간, 즉 가 만드는 직선 위로 를 내리는 경우를 생각할 수 있다. #선형대수학
- 4.1. Orthogonality of the Four Subspaces 직교와 부분공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 14: Orthogonal vectors and subspaces 이번 강의의 핵심 주제는 직교성(orthogonality) 이다. 직교성은 벡터끼리, 부분공간끼리, 기저끼리 정의할 수 있으며, 기본적으로 서로 90도를 이룬다는 뜻이다. #선형대수학
- 3.5. The Four Fundamental Subspaces 부분공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 12: Graphs, networks, incidence matrices 행렬 는 입력 공간 과 출력 공간 내에 4개의 핵심적인 부분공간(Subspace)을 정의한다. 이를 이해하는 것이 선형대수학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra)의 핵심이다. 열공간과 좌영공간이 서로 직교 열공간의 벡터(A의 한 열)과 좌영공간의 벡터 의 직교: 열공간이므로, 로 표기. ( 의 한 행 = 의 한 열) #선형대수학
- 3.4. Independence, Basis, and Dimension 종속, 기저, 차원 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 10: The four fundamental subspaces 벡터들의 집합 이 독립(Independent) 이라는 것은, 이들의 선형 결합이 영벡터가 되는 유일한 방법이 모든 계수가 0인 경우뿐이라는 뜻이다. 식: 은 오직 일 때만 성립한다. 만약 0이 아닌 가 하나라도 존재해서 을 만들 수 있다면, 그 벡터들은 종속(Dependent) 이다. 교재의 다른 표현: "하나의 벡터가 다른 벡터들의 조합으로 표현된다면 종속이다." () 평면에서의 예시 독립: 두 벡터가 일직선상에 있지 않을 때. 예: 과 . 종속: 두 벡터가 원점을 지나는 같은 직선 위에 있을 때. 예: , . 이때 이므로, 계수가 0이 아닌 해가 존재한다. 종속: 세 개의 벡터가 에 있을 때. ==평면 위의 세 벡터는 반드시 종속==이다. 공간에서의 예시 독립: 세 벡터가 같은 평면(Plane) 위에 있지 않 #선형대수학
- 3.3. The Complete Solution to Ax=b 완전해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 9: Independence, basis, and dimension 의 완전해는 의 형태이다. 특수해(Particular Solution ) 는 를 해결하여 구한다. 여기서 는 특수해(particular solution)이고, 은 영공간(nullspace)에 존재하는 해이다. 기하학적으로 의 해집합은 의 해(영공간)를 만큼 평행 이동한 선(또는 평면)과 같다. 를 풀기 위해 행렬 에 벡터 를 붙인 첨가 행렬 를 구성한다. 소거법을 통해 를 형태로 변환하면, 원래 방정식 는 와 동치(equivalent)가 된다. 방정식이 해를 가지려면(solvable), 의 영행(zero rows)에 대응하는 의 성분이 반드시 이어야 한다. 즉, 의 #선형대수학
- 3.2. The Nullspace of A, Solving Ax=0 and Rx=0 영공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions 영공간 는 을 만족하는 모든 해 벡터들의 집합이다. 이 해 는 (n-차원 공간)에 속한다. (영벡터)는 항상 영공간 에 포함된다. 는 의 부분공간(subspace)이다. (즉, 영공간 내의 벡터끼리 더하거나 스칼라 배를 해도 여전히 영공간에 속한다.) 행렬 에 기본 행 연산(소거)을 적용하여 상삼각행렬 나 기약 행 사다리꼴 을 만들어도 영공간은 변하지 않는다. 따라서 의 해를 구하는 것은 의 해를 구하는 것과 같다. 피벗(Pivot): 소거 후 각 행에서 0이 아닌 첫 번째 성분. 피벗 변수 (Pivot Variables): 피벗을 포함하는 열(column)에 해당하는 변수들이다. 자유 변수 (Free Variables): 피벗이 없는 열에 해당하는 변수들이다. 랭크 (Rank) #선형대수학
- 3.1. Space of Vector 벡터공간 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 6: Column space and nullspace 벡터 공간은 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있는 벡터들의 집합이다. #선형대수학
- 2.7 Transpose and Permutations 전치, 순열 행렬 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 5: Transposes, permutations, spaces R^n 전치 행렬 와 순열 행렬 는 선형대수에서 매우 자주 등장하는 기본 행렬이다. #선형대수학
- 2.6 Elimination = Factorization, A=LU 제거, 인수분해 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 4: LU and LDU factorization 가우스 소거법에서 소거 과정을 나타내는 행렬을 라고 할 때, 그 역행렬은 로 나타낼 수 있다. #선형대수학
- 2.5. Inverse Matrices 역행렬의 정의, 가역성 판별, 소거행렬의 역, Gauss-Jordan 소거법 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 3: Multiplication and inverse matrices 정사각행렬 에 대해 어떤 행렬 이 존재해서 다음을 만족하면, 를 invertible matrix라고 한다. #선형대수학
- 2.4 Rules for Matrix Operation 행렬 연산 규칙 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 3: Multiplication and inverse matrices 행렬 와 행렬 를 곱하면, 결과 행렬 의 형상은 이다. #선형대수학
- 2.3 Elimination Using Matrices 행렬 이용 소거 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 2: Elimination with matrices 다음 선형 방정식계를 생각한다. #선형대수학
- 2.2 The Idea of Elimination 소거법의 개념 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 2: Elimination with matrices 가우스 소거법은 선형 방정식계 를 위삼각행렬 형태의 로 바꾼 뒤, 역대입(back substitution)으로 해를 구하는 방법이다. #선형대수학
- 2.1. Vectors and Linear Equations 벡터와 선형방정식 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 선형 방정식은 여러 미지수의 선형결합으로 어떤 벡터 를 만드는 문제이다. #선형대수학
- 1.3. Matrix 행렬곱, 차분행렬, cyclic difference, 선형독립과 선형종속 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 행렬과 벡터의 곱 는 여러 관점에서 볼 수 있다. #선형대수학
- 1.2. Lengths and Dot Products 길이와 내적 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 내적은 두 벡터의 대응되는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더한 값이다. #선형대수학
- 1.1. Row Picture and Column Picture 선형방정식 Ax=b를 행 관점, 열 관점, 행렬 관점으로 바라보는 첫 정리 연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 1: The geometry of linear equations 선형대수학에서 가장 기본이 되는 문제는 선형방정식의 해를 구하는 것이다. #선형대수학