1. 완전해의 구조 (The Complete Solution)

• $Ax=b$의 완전해는 $x = x_p + x_n$의 형태이다.

특수해(Particular Solution $x_p$) 는 $Rx=d$ 를 해결하여 구한다.

• 여기서 $x_p$는 특수해(particular solution)이고, $x_n$은 영공간(nullspace)에 존재하는 해이다.

• 기하학적으로 $Ax=b$의 해집합은 $Ax=0$의 해(영공간)를 $x_p$만큼 평행 이동한 선(또는 평면)과 같다.

2. 풀이 과정: 소거법과 첨가 행렬 (Elimination and Augmented Matrix)

• $Ax=b$를 풀기 위해 행렬 $A$에 벡터 $b$를 붙인 첨가 행렬 $[A \ b]$를 구성한다.

• 소거법을 통해 $[A \ b]$를 $[R \ d]$ 형태로 변환하면, 원래 방정식 $Ax=b$는 $Rx=d$와 동치(equivalent)가 된다.

• 방정식이 해를 가지려면(solvable), $R$의 영행(zero rows)에 대응하는 $d$의 성분이 반드시 $0$이어야 한다.

• 즉, $R$의 어떤 행이 $0=0$ 꼴이 되어야만 해가 존재하며, $0 \neq 0$이 되면 해가 존재하지 않는다.

3. 특수해와 영공간 해 구하기 (Finding Solutions)

아래의 모든 방법은 $Rx=d$ 를 해결하여 구한다.

• 특수해 ($x_p$): 모든 자유 변수(free variables)를 $0$으로 설정하여 구한다. 이 경우 피벗 변수들은 우변의 벡터 $d$에서 바로 결정된다.

영공간해(Special Solution $x_n$ , 영공간 기저해)는 $Rx=0$에 자유변수를 각각 1을 할당하여 구한다.

• 영공간 해 ($x_n$): $Ax_n=0$을 만족하는 해이며, 자유 변수들에 값을 할당하여 구한다.

• 완전해를 쓸 때는 $x_p$는 그대로 두고, $x_n$에는 임의의 상수를 곱하여 더하는 방식으로 표현한다 ($x = x_p + c x_n$).

4. 랭크(Rank)에 따른 해의 4가지 경우 (Four Cases of Solvability)

행렬의 랭크 $r$과 행의 수 $m$, 열의 수 $n$의 관계에 따라 해의 존재 여부와 개수가 결정된다.

1. Full Column Rank ($r=n<m$):

   • 모든 열이 피벗을 가지며, 자유 변수가 없다.

   • 영공간 $N(A)$는 영벡터($0$)뿐이다.

   • 해는 없거나(0개), 있다면 유일하다(1개).

     • $R=\begin{bmatrix}I \\ O\end{bmatrix}$

2. Full Row Rank ($r=m<n$):

   • 모든 행이 피벗을 가지며, $R$에 영(0)행이 없다.

   • 모든 $b$에 대해 $Ax=b$는 항상 해를 가진다

   • 자유 변수가 존재하므로($n > m$), 해는 무수히 많다.

     • $R=\begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix}$
     • 대부분의 경우, 해가 무수히 많음.

3. Full Rank ($r=m=n$):

   • 정방 행렬이며 역행렬이 존재한다(invertible).
     • $R=\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}$
   • 영공간은 $0$이고, 유일한 해 $x_p = A^{-1}b$를 가진다.

4. Rank Deficient ($r < m$ 그리고 $r < n$):

   • 해가 없거나(0개), 무수히 많다($\infty$).