연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 20: Cramer’s rule, inverse matrix, and volume

행렬식의 응용: 역행렬 공식, 크래머 공식, 넓이와 부피

이번 내용은 행렬식의 마지막 응용에 관한 내용이다. 앞에서는 행렬식의 성질과 계산 공식을 배웠다. 이제는 그 행렬식이 실제로 어디에 쓰이는지를 본다.

행렬식은 행렬 안에 들어 있는 정보를 하나의 수로 압축한 값이다. 그런데 이 하나의 수가 역행렬, 연립방정식의 해, 그리고 도형의 넓이와 부피를 설명하는 데 쓰인다.

핵심 응용은 다음 세 가지이다.

1. 역행렬 공식
2. 크래머 공식
3. 행렬식과 넓이·부피의 관계

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1. 역행렬 공식

가장 먼저 볼 것은 역행렬 공식이다.

$2 \times 2$ 행렬의 역행렬 공식은 이미 익숙하다.

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

일 때,

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

이다.

여기서 분모의 $ad - bc$는 행렬식이다.

$$\det A = ad - bc$$

즉 역행렬 공식에는 항상 $\frac{1}{\det A}$가 등장한다. 이것은 매우 자연스럽다. 왜냐하면 행렬 $A$가 역행렬을 가지려면 $\det A \neq 0$이어야 하기 때문이다. 만약 $\det A = 0$이면 분모가 $0$이 되므로 역행렬 공식 자체가 성립할 수 없다.

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2. $2 \times 2$ 역행렬 공식과 여인수

위 공식에서

$$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

가 어디서 나오는지 보자.

이 행렬은 그냥 외운 결과처럼 보이지만, 사실 여인수와 관련이 있다.

행렬

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

에서 각 원소의 여인수를 보자.

$a$의 여인수

$a$는 $(1,1)$ 위치에 있다. $a$가 있는 1행과 1열을 지우면 $d$만 남는다.

따라서 $a$의 여인수는

$$C_{11} = d$$

이다.

$b$의 여인수

$b$는 $(1,2)$ 위치에 있다. $b$가 있는 1행과 2열을 지우면 $c$가 남는다.

그런데 부호는 $(-1)^{1+2}$이므로 음수이다.

따라서

$$C_{12} = -c$$

이다.

$c$의 여인수

$c$는 $(2,1)$ 위치에 있다. $c$가 있는 2행과 1열을 지우면 $b$가 남는다.

부호는 $(-1)^{2+1}$이므로 음수이다.

따라서

$$C_{21} = -b$$

이다.

$d$의 여인수

$d$는 $(2,2)$ 위치에 있다. $d$가 있는 2행과 2열을 지우면 $a$가 남는다.

부호는 $(-1)^{2+2}$이므로 양수이다.

따라서

$$C_{22} = a$$

이다.

따라서 여인수 행렬은

$$C = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$$

이다.

그런데 역행렬 공식에 들어가는 행렬은

$$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

이다.

이는 여인수 행렬 $C$를 전치한 것이다.

$$C^T = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

따라서 $2 \times 2$ 역행렬 공식은 다음처럼 쓸 수 있다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

이 공식은 $2 \times 2$에서만 성립하는 것이 아니라 일반적인 $n \times n$ 행렬에서도 성립한다.

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3. 일반적인 역행렬 공식

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 여인수 행렬을 $C$라고 하자.

즉 $C_{ij}$는 $a_{ij}$의 여인수이다.

그러면 역행렬은 다음과 같다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

여기서 $C^T$를 수반행렬 또는 adjugate matrix라고도 한다.

$$\operatorname{adj}(A) = C^T$$

따라서 보통 다음처럼 쓰기도 한다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}(A)$$

이 공식이 성립하려면 당연히 $\det A \neq 0$이어야 한다.

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4. $3 \times 3$ 행렬에서 여인수의 형태

예를 들어

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

라고 하자.

$\det A$는 세 개의 원소를 곱한 항들의 합과 차로 이루어진다. 예를 들어 $aei$, $bfg$, $cdh$ 같은 항들이 등장한다.

반면 여인수는 하나의 행과 하나의 열을 지운 뒤 남는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식이다. 따라서 여인수에는 두 개의 원소를 곱한 항들이 나온다.

예를 들어 $a$의 여인수는

$$C_{11} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei - fh$$

이다.

즉 $n \times n$ 행렬에서

• $\det A$는 원소 $n$개를 곱한 항들로 이루어진다.
• 여인수는 원소 $n-1$개를 곱한 항들로 이루어진다.

가우스-조르당 소거법으로 역행렬을 구할 때는 이런 대수적 구조가 잘 보이지 않는다. 하지만 여인수 공식을 보면 역행렬의 각 원소가 행렬 원소들의 다항식 형태로 표현된다는 것을 볼 수 있다.

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5. 왜 $A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$인가

이제 이 공식이 왜 맞는지 확인해보자.

역행렬 공식이 맞으려면 다음이 성립해야 한다.

$$A A^{-1} = I$$

여기에

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

를 대입하면,

$$A \left( \frac{1}{\det A} C^T \right) = I$$

이다.

양변에 $\det A$를 곱하면 다음과 같다.

$$A C^T = (\det A) I$$

따라서 핵심은 다음 항등식이다.

$$A C^T = (\det A) I$$

이 식이 성립하면 역행렬 공식도 바로 따라온다.

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6. 대각 성분이 $\det A$가 되는 이유

행렬 $A$의 첫 번째 행을

$$(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n})$$

이라고 하자.

$C^T$의 첫 번째 열은 원래 여인수 행렬 $C$의 첫 번째 행이다. 즉 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix} C_{11} \\ C_{12} \\ \vdots \\ C_{1n} \end{pmatrix}$$

그러면 $A C^T$의 $(1,1)$ 성분은 첫 번째 행과 첫 번째 열의 내적이다.

$$a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n}$$

그런데 이것은 정확히 1행에 대한 여인수 전개이다.

따라서

$$a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n} = \det A$$

이다.

마찬가지로 2행과 2행의 여인수들을 곱하면 $\det A$가 나오고, $n$행과 $n$행의 여인수들을 곱해도 $\det A$가 나온다.

즉 $A C^T$의 대각 성분은 모두 $\det A$이다.

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7. 비대각 성분이 $0$이 되는 이유

남은 문제는 비대각 성분이다.

예를 들어 $A C^T$의 $(1,2)$ 성분은 $A$의 1행과 $C^T$의 2열의 내적이다. 이는 곧 $A$의 1행과 $A$의 2행에 대한 여인수들을 곱하는 것이다.

즉 같은 행의 원소와 같은 행의 여인수를 곱하는 것이 아니라, 다른 행의 원소와 여인수를 곱하는 상황이다.

이 값은 왜 $0$이 될까?

직관은 다음과 같다.

다른 행의 여인수와 곱한다는 것은, 어떤 행렬의 행렬식을 계산하는 것과 같다. 그런데 그 행렬은 두 행이 서로 같은 행렬이다. 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 $0$이다.

$2 \times 2$ 예시

다시

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

를 보자.

2행의 여인수들은

$$C_{21} = -b, \quad C_{22} = a$$

이다.

1행의 원소와 2행의 여인수들을 곱하면

$$aC_{21} + bC_{22} = a(-b) + b(a) = -ab + ab = 0$$

이다.

이것은 우연이 아니다. 다음 행렬을 생각해보자.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix}$$

이 행렬은 두 행이 같으므로 행렬식이 $0$이다.

실제로 계산하면

$$\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = ab - ba = 0$$

이다.

따라서 원래 행렬의 한 행과 다른 행의 여인수를 곱하면, 두 행이 같은 행렬의 행렬식을 계산하는 꼴이 되므로 $0$이 된다.

이 때문에

$$A C^T = (\det A) I$$

가 성립한다.

따라서

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

이다.

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8. 역행렬 공식의 의미

이 공식은 계산용으로 항상 좋은 공식은 아니다. 실제로 큰 행렬의 역행렬을 구할 때는 보통 소거법을 사용한다.

하지만 이 공식은 중요한 대수적 의미를 가진다.

예를 들어 행렬 $A$의 $(1,1)$ 성분을 조금 바꾸면 역행렬은 어떻게 변할까?

여인수 공식으로 보면, 역행렬은

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

이므로 변화는 두 부분에서 일어난다.

1. $\det A$가 변한다.
2. 여인수 행렬 $C$가 변한다.

즉 역행렬의 변화는 행렬식과 여인수들의 변화로 추적할 수 있다. 수치 계산에서는 소거법이 더 실용적이지만, 문자식으로 행렬의 구조를 분석할 때는 이 공식이 의미가 있다.

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9. 연립방정식 $Ax=b$와 크래머 공식

이제 두 번째 응용은 연립방정식이다.

연립방정식

$$Ax = b$$

의 해는

$$x = A^{-1}b$$

이다.

앞에서 구한 역행렬 공식을 대입하면

$$x = \frac{1}{\det A} C^T b$$

이다.

즉 해 $x$의 각 성분도 행렬식과 여인수를 이용해 표현할 수 있다. 이것이 크래머 공식이다.

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10. 크래머 공식

$A$가 가역행렬이고 $\det A \neq 0$이라고 하자.

연립방정식

$$Ax = b$$

의 해를

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

라고 하자.

그러면 각 성분 $x_j$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$x_j = \frac{\det B_j}{\det A}$$

여기서 $B_j$는 행렬 $A$의 $j$번째 열을 오른쪽 벡터 $b$로 바꾼 행렬이다.

즉

$$B_j = \begin{pmatrix} | & | & & | & & | \\ a_1 & a_2 & \cdots & b & \cdots & a_n \\ | & | & & | & & | \end{pmatrix}$$

이다.

여기서 $a_1, a_2, \cdots, a_n$은 $A$의 각 열벡터이다.

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11. $x_1$에 대한 크래머 공식

특히 첫 번째 성분 $x_1$은 다음과 같다.

$$x_1 = \frac{\det B_1}{\det A}$$

여기서 $B_1$은 $A$의 첫 번째 열을 $b$로 바꾼 행렬이다.

예를 들어 $A$가

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

이고

$$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$$

라면,

$$B_1 = \begin{pmatrix} b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

이다.

이 행렬의 행렬식을 1열에 대해 여인수 전개하면

$$\det B_1 = b_1 C_{11} + b_2 C_{21} + \cdots + b_n C_{n1}$$

이 된다.

이 값은 $C^T b$의 첫 번째 성분과 같다. 따라서

$$x_1 = \frac{\det B_1}{\det A}$$

가 된다.

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12. 크래머 공식은 계산용으로 좋은가

크래머 공식은 매우 깔끔한 공식이다.

연립방정식의 해를 각 성분별로 행렬식의 비율로 표현한다.

$$x_j = \frac{\det B_j}{\det A}$$

하지만 실제 계산에는 좋은 방법이 아니다.

$n$개의 미지수를 가진 연립방정식을 풀려면 $\det A$와 $\det B_1, \det B_2, \cdots, \det B_n$을 계산해야 한다. 즉 총 $n+1$개의 행렬식을 계산해야 한다.

행렬식 계산은 큰 행렬에서 매우 비싸다. 반면 소거법은 훨씬 효율적이다.

따라서 크래머 공식은 실전 수치 계산용이라기보다는 이론적·대수적 의미가 큰 공식이다.

정리하면 다음과 같다.

• 소거법은 계산에 좋다.
• 크래머 공식은 해의 구조를 문자식으로 보여주는 데 좋다.
• 큰 행렬을 실제로 풀 때는 크래머 공식을 쓰지 않는다.

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13. 행렬식의 세 번째 응용: 넓이와 부피

세 번째 응용은 행렬식이 넓이와 부피를 나타낸다는 사실이다.

정확히 말하면 행렬식의 절댓값은 어떤 평행사변형, 평행육면체, 또는 고차원 평행체의 넓이와 부피를 나타낸다.

행렬 $A$의 행벡터 또는 열벡터를 도형의 변으로 생각하면, 그 도형의 부피는 다음과 같다.

$$\text{volume} = |\det A|$$

행렬식 자체는 부호를 가질 수 있다. 따라서 기하학적 부피만 생각하면 절댓값을 취해야 한다.

$$\text{volume} = |\det A|$$

행렬식의 부호는 방향을 나타낸다. 예를 들어 3차원에서는 오른손 방향인지 왼손 방향인지와 관련이 있다. 두 변의 순서를 바꾸면 부피의 크기는 변하지 않지만 행렬식의 부호는 바뀐다.

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14. $3 \times 3$ 행렬과 평행육면체

$3 \times 3$ 행렬

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

를 생각하자.

각 행을 3차원 공간의 벡터로 본다.

첫 번째 행벡터는

$$r_1 = (a_{11}, a_{12}, a_{13})$$

이다.

두 번째 행벡터는

$$r_2 = (a_{21}, a_{22}, a_{23})$$

이다.

세 번째 행벡터는

$$r_3 = (a_{31}, a_{32}, a_{33})$$

이다.

이 세 벡터를 원점에서 출발하는 세 변으로 생각하면 하나의 평행육면체가 만들어진다.

이 평행육면체의 부피는

$$|\det A|$$

이다.

즉 행렬식은 세 벡터가 만드는 공간의 부피를 나타낸다.

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15. 항등행렬의 경우

가장 쉬운 경우는 항등행렬이다.

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

이 행렬의 세 행벡터는 표준기저벡터이다.

$$e_1 = (1,0,0)$$ $$e_2 = (0,1,0)$$ $$e_3 = (0,0,1)$$

이 세 벡터가 만드는 도형은 한 변의 길이가 1인 정육면체이다.

따라서 부피는 $1$이다.

또한

$$\det I = 1$$

이다.

따라서

$$|\det I| = 1$$

이고, 이는 단위 정육면체의 부피와 일치한다.

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16. 직교행렬의 경우

이제 항등행렬보다 조금 더 일반적인 직교행렬을 생각하자.

직교행렬 $Q$는 다음 조건을 만족하는 행렬이다.

$$Q^T Q = I$$

이는 $Q$의 열벡터들이 서로 직교하고 길이가 1이라는 뜻이다. 즉 열벡터들이 정규직교기저를 이룬다는 뜻이다.

직교행렬이 만드는 도형은 단위 정육면체를 회전하거나 반사한 것이다. 따라서 부피는 여전히 $1$이다.

이제 행렬식도 확인해보자.

$$Q^T Q = I$$

양변에 행렬식을 취하면

$$\det(Q^T Q) = \det I$$

이다.

행렬식의 곱셈 성질에 의해

$$\det(Q^T Q) = \det(Q^T)\det(Q)$$

이다.

또한 전치행렬의 행렬식은 원래 행렬식과 같다.

$$\det(Q^T) = \det(Q)$$

따라서

$$\det(Q)^2 = 1$$

이다.

그러므로

$$\det(Q) = 1 \quad \text{or} \quad \det(Q) = -1$$

이다.

즉 직교행렬의 행렬식은 항상 $1$ 또는 $-1$이다.

절댓값을 취하면

$$|\det Q| = 1$$

이므로 직교행렬이 만드는 도형의 부피와 일치한다.

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17. 한 변을 두 배로 늘리면

단위 정육면체에서 한 변을 두 배로 늘리면 부피도 두 배가 된다.

행렬에서도 같은 일이 일어난다.

어떤 행렬 $A$의 한 행을 두 배로 만들면 행렬식도 두 배가 된다.

예를 들어 첫 번째 행을 두 배로 만들면

$$\det \begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = 2 \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

이다.

이는 행렬식이 각 행에 대해 선형적이라는 성질과 연결된다.

기하학적으로는 한 변의 길이를 두 배로 늘렸으므로 부피가 두 배가 되는 것이다.

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18. 행렬식과 넓이: $2 \times 2$의 경우

2차원에서는 행렬식이 평행사변형의 넓이를 준다.

두 벡터

$$(a,b)$$

와

$$(c,d)$$

를 생각하자.

이 두 벡터를 원점에서 출발하는 두 변으로 보면 평행사변형이 만들어진다.

그 평행사변형의 넓이는

$$\left| \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \right| = |ad - bc|$$

이다.

만약 방향까지 고려한 부호 있는 넓이를 쓰면

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

이다.

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19. 왜 이 공식이 좋은가

평행사변형의 넓이는 원래 다음처럼 배운다.

$$\text{area} = \text{base} \times \text{height}$$

하지만 좌표만 주어졌을 때 밑변과 높이를 직접 구하려면 제곱근과 삼각함수 또는 투영 계산이 섞여서 복잡해진다.

예를 들어 $(a,b)$의 길이는

$$\sqrt{a^2 + b^2}$$

이다.

높이를 구하려면 다른 벡터를 이 방향에 수직으로 내린 길이를 계산해야 한다. 이 과정은 생각보다 번거롭다.

반면 행렬식을 쓰면 넓이는 바로 나온다.

$$\text{area} = |ad - bc|$$

즉 좌표만 알고 있으면 길이, 각도, 높이를 따로 구하지 않아도 된다.

이것이 행렬식 공식의 큰 장점이다.

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20. 삼각형의 넓이

평행사변형을 대각선으로 자르면 삼각형 두 개가 된다.

따라서 원점과 두 점 $(a,b)$, $(c,d)$가 만드는 삼각형의 넓이는 평행사변형 넓이의 절반이다.

$$\text{triangle area} = \frac{1}{2}|ad - bc|$$

부호 있는 넓이로 쓰면 다음과 같다.

$$\frac{1}{2}(ad - bc)$$

이다.

기하학적 넓이는 항상 양수이므로 보통은 절댓값을 쓴다.

$$\text{triangle area} = \frac{1}{2}|ad - bc|$$

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21. 원점에서 시작하지 않는 삼각형의 넓이

이제 삼각형의 한 꼭짓점이 원점이 아닌 경우를 보자.

세 점이 다음과 같다고 하자.

$$(x_1, y_1), \quad (x_2, y_2), \quad (x_3, y_3)$$

이 세 점이 만드는 삼각형의 넓이는 다음 공식으로 구할 수 있다.

$$\text{area} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|$$

이 공식은 처음 보면 갑자기 $1$이 붙어서 이상해 보일 수 있다. 하지만 의미는 간단하다.

세 점 중 하나를 원점으로 옮긴 뒤, 나머지 두 점과의 차이 벡터로 평행사변형을 만들면 된다.

예를 들어 $(x_1,y_1)$을 기준점으로 잡으면 두 벡터는

$$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$

와

$$(x_3 - x_1, y_3 - y_1)$$

이다.

따라서 삼각형의 넓이는

$$\text{area} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{vmatrix} \right|$$

이다.

이 식을 정리하면 위의 $3 \times 3$ 행렬식 공식과 같다.

즉

$$\frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|$$

은 세 점이 어디에 있든 삼각형의 넓이를 바로 구해주는 공식이다.

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22. 행렬식의 성질과 부피의 성질

행렬식이 부피와 같다는 사실은 행렬식의 기본 성질들과도 잘 맞는다.

행렬식의 중요한 성질은 다음과 같다.

1. 항등행렬의 행렬식은 1이다

$$\det I = 1$$

이는 단위 정육면체의 부피가 $1$이라는 사실과 대응된다.

2. 두 행을 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다

두 행을 바꾸면 도형의 방향이 바뀐다. 부피의 크기는 그대로이지만 방향, 즉 orientation이 바뀐다.

따라서 절댓값으로 본 부피는 그대로이고, 행렬식의 부호만 바뀐다.

3. 한 행에 배수를 곱하면 행렬식도 그 배수만큼 변한다

한 행이 나타내는 벡터를 $t$배 하면 그 방향의 길이가 $t$배가 된다. 따라서 부피도 $t$배가 된다.

수식으로는 다음과 같다.

$$\det \begin{pmatrix} t r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix} = t \det \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}$$

이다.

4. 한 행에 대해 선형적이다

행렬식은 한 행에 대해서만 선형적이다.

예를 들어 $2 \times 2$에서

$$\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}$$

이다.

이 성질은 넓이와 부피의 분해와 연결된다.

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23. 중요한 주의점: 행렬식은 행렬 전체에 대해 선형이 아니다

행렬식은 각 행에 대해 따로 선형적이다. 이를 multilinearity라고 한다.

하지만 행렬 전체에 대해 선형인 것은 아니다.

즉 일반적으로

$$\det(A+B) \neq \det A + \det B$$

이다.

행렬식의 선형성은 “한 행만 바꾸고 나머지 행은 고정했을 때” 성립하는 성질이다.

예를 들어

$$\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}$$

는 맞다.

하지만

$$\det(A+B) = \det A + \det B$$

는 일반적으로 틀리다.

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24. 전체 정리

이번 내용의 핵심은 행렬식이 단순한 계산 도구가 아니라는 점이다.

행렬식은 다음 세 가지 중요한 의미를 가진다.

첫째, 역행렬을 표현한다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$$

여기서 $C$는 여인수 행렬이다.

둘째, 연립방정식의 해를 표현한다.

$$x_j = \frac{\det B_j}{\det A}$$

여기서 $B_j$는 $A$의 $j$번째 열을 $b$로 바꾼 행렬이다.

셋째, 넓이와 부피를 표현한다.

$$\text{volume} = |\det A|$$

2차원에서는 평행사변형의 넓이이고, 3차원에서는 평행육면체의 부피이다.

행렬식은 하나의 수이지만, 그 안에는 행렬의 가역성, 연립방정식의 해, 기하학적 부피 정보가 모두 들어 있다. 그래서 행렬식은 단순히 계산하는 대상이 아니라, 행렬이 공간을 어떻게 변형하는지를 보여주는 핵심 개념이다.