연결 강의: MIT 18.06 Linear Algebra - Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices

1. 이번 강의의 위치

이번 강의는 linear transformation, 즉 선형변환을 다룬다.

선형대수 강의는 전통적으로 선형변환에서 시작하기도 한다. 행렬보다 선형변환을 먼저 보는 방식이다.

행렬은 계산을 위해 좌표를 도입한 뒤에 나타나는 표현이다. 그 뒤에는 더 근본적인 개념인 linear transformation이 있다.

즉 흐름은 다음과 같다.

$$\text{linear transformation} \quad \longrightarrow \quad \text{choose bases} \quad \longrightarrow \quad \text{matrix}$$

물리학자처럼 좌표를 싫어하는 사람은 행렬보다 공간 전체에서 무슨 일이 일어나는지를 먼저 보고 싶어한다. 하지만 실제 계산을 하려면 결국 좌표를 정하고, 그 좌표계에서 행렬을 얻게 된다.

이번 글에서는 먼저 행렬 없이 선형변환의 아이디어를 본다.

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2. Linear Transformation이란 무엇인가

linear transformation은 벡터를 입력으로 받아 벡터를 출력으로 내보내는 함수이다.

보통 다음처럼 쓴다.

$$T(v)$$

여기서 $v$는 입력 벡터이고, $T(v)$는 출력 벡터이다.

함수 $f(x)$가 숫자 $x$를 입력받아 숫자 $f(x)$를 내보내듯, transformation $T$는 벡터를 입력받아 벡터를 내보낸다.

예를 들어,

$$T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$

라면 $T$는 평면의 벡터를 받아 다시 평면의 벡터로 보내는 변환이다.

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3. 선형성 조건

어떤 transformation이 linear하려면 두 조건을 만족해야 한다.

첫 번째는 덧셈을 보존하는 것이다.

$$T(v+w)=T(v)+T(w)$$

두 번째는 스칼라배를 보존하는 것이다.

$$T(cv)=cT(v)$$

이 두 조건을 합치면 다음처럼 쓸 수 있다.

$$T(c_1v+c_2w)=c_1T(v)+c_2T(w)$$

즉 선형변환은 linear combination을 그대로 보존한다.

이 조건이 중요한 이유는, basis vector들이 어떻게 변하는지만 알면 모든 벡터가 어떻게 변하는지 알 수 있기 때문이다.

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4. 예시 1: Projection

첫 번째 예시는 projection이다.

평면 $\mathbb{R}^2$ 안에 원점을 지나는 직선 하나가 있다고 하자. transformation $T$는 평면의 모든 벡터를 그 직선 위로 정사영한다.

즉 어떤 벡터 $v$가 있을 때,

$$T(v)=\text{projection of }v\text{ onto the line}$$

이다.

이 변환은 좌표 없이도 설명할 수 있다. 어떤 축을 잡거나 matrix를 쓰지 않아도, “이 벡터를 주어진 직선 위로 내린다”는 규칙만으로 transformation이 정의된다.

projection은 linear transformation이다.

예를 들어 $v$를 두 배로 늘리면 projection도 두 배로 늘어난다.

$$T(2v)=2T(v)$$

$v$의 방향을 반대로 바꾸면 projection도 방향이 반대로 바뀐다.

$$T(-v)=-T(v)$$

또 $v$와 $w$를 더한 뒤 projection한 결과는 각각 projection한 뒤 더한 결과와 같다.

$$T(v+w)=T(v)+T(w)$$

따라서 projection은 선형변환이다.

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5. 비예시 1: 평면 전체를 고정 벡터만큼 이동

이번에는 평면 전체를 어떤 고정 벡터 $v_0$만큼 이동시키는 변환을 생각하자.

$$T(v)=v+v_0$$

이 변환은 직관적으로는 매우 간단하다. 모든 벡터를 같은 방향으로 같은 양만큼 밀어내는 변환이다.

하지만 이 변환은 linear transformation이 아니다.

왜냐하면 스칼라배 조건이 깨지기 때문이다.

예를 들어 $v$를 두 배로 하면,

$$T(2v)=2v+v_0$$

이다.

반면,

$$2T(v)=2(v+v_0)=2v+2v_0$$

이다.

일반적으로,

$$T(2v)\neq 2T(v)$$

이다.

또 선형변환이라면 반드시 0벡터를 0벡터로 보내야 한다.

$$T(0)=0$$

하지만 이 변환에서는,

$$T(0)=v_0$$

이다.

$v_0\neq 0$이면 0벡터가 0벡터로 가지 않는다. 따라서 이 변환은 선형이 아니다.

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6. 선형변환은 왜 $T(0)=0$이어야 하는가

선형변환에서는 항상 0벡터가 0벡터로 간다.

스칼라배 조건을 사용하면 바로 볼 수 있다.

$$T(c0)=cT(0)$$

그런데 $c0=0$이므로,

$$T(0)=cT(0)$$

이다.

예를 들어 $c=3$을 넣으면,

$$T(0)=3T(0)$$

이 된다.

이를 만족하려면,

$$T(0)=0$$

이어야 한다.

그래서 원점을 이동시키는 transformation은 linear transformation이 될 수 없다.

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7. 비예시 2: 벡터의 길이를 반환하는 변환

다음 transformation을 생각하자.

$$T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$ $$T(v)=\|v\|$$

즉 3차원 벡터를 입력받아 그 길이를 출력하는 변환이다.

이 변환은 0벡터를 0으로 보낸다.

$$T(0)=0$$

또 양수 스칼라배에 대해서는 길이도 같이 늘어난다.

$$T(2v)=2T(v)$$

하지만 음수 스칼라에서는 문제가 생긴다.

$$T(-v)=\|-v\|=\|v\|$$

반면,

$$-T(v)=-\|v\|$$

이다.

일반적으로,

$$T(-v)\neq -T(v)$$

이다.

따라서 벡터의 길이를 반환하는 transformation은 linear transformation이 아니다.

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8. 예시 2: Rotation

이번에는 rotation을 보자.

예를 들어 평면의 모든 벡터를 45도 회전시키는 transformation을 생각하자.

$$T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$

$T(v)$는 $v$를 45도 회전한 벡터이다.

이 변환도 좌표 없이 설명할 수 있다. 평면 전체를 원점 기준으로 45도 돌리는 것이다.

rotation은 linear transformation이다.

벡터를 먼저 더하고 회전해도 되고, 각각 회전한 뒤 더해도 된다.

$$T(v+w)=T(v)+T(w)$$

또 스칼라배도 보존된다.

$$T(cv)=cT(v)$$

예를 들어 벡터를 두 배로 길게 만든 뒤 회전하면, 회전한 벡터도 두 배 길이가 된다.

따라서 원점 중심의 rotation은 선형변환이다.

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9. 도형 전체에 작용하는 Linear Transformation

linear transformation은 벡터 하나에만 작용하는 것이 아니다. 평면의 모든 점, 모든 벡터에 동시에 작용한다고 볼 수 있다.

예를 들어 평면 위에 작은 집 모양이 있다고 하자. 집의 테두리를 이루는 모든 점을 transformation에 넣으면, 변환된 집 모양이 나온다.

rotation이면 집 전체가 회전한다.

projection이면 집 전체가 어떤 직선 위로 납작하게 눌린다.

reflection이면 집이 뒤집힌다.

이 관점은 행렬이 단순히 숫자 배열이 아니라 공간 전체를 움직이는 규칙이라는 것을 보여준다.

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10. Matrix에서 오는 Linear Transformation

행렬은 항상 linear transformation을 만든다.

행렬 $A$가 주어졌을 때,

$$T(v)=Av$$

라고 정의하면 $T$는 linear transformation이다.

왜냐하면 행렬곱은 덧셈을 보존한다.

$$A(v+w)=Av+Aw$$

또 스칼라배도 보존한다.

$$A(cv)=cAv$$

따라서 모든 행렬은 하나의 linear transformation을 만든다.

반대로, basis를 정하면 모든 linear transformation은 어떤 matrix로 표현된다. 이것이 다음 글의 핵심이다.

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11. 예시 3: Matrix가 만드는 Transformation

다음 행렬을 생각하자.

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

이 행렬은 벡터

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

를 다음처럼 보낸다.

$$A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}$$

$x$성분은 그대로 두고 $y$성분의 부호만 바꾼다.

즉 이 transformation은 $x$축에 대한 reflection이다.

평면 위의 집 모양에 이 행렬을 적용하면, 집은 위아래로 뒤집힌다. 지붕이 아래로 향하고, 문도 아래쪽에 뒤집혀 나타난다.

이 예시는 matrix multiplication이 공간 전체에 작용하는 transformation임을 보여준다.

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12. Linear Transformation을 알기 위해 필요한 정보

linear transformation $T$를 완전히 알려면 얼마나 많은 정보를 알아야 할까?

모든 벡터 $v$에 대해 $T(v)$를 직접 알려 주는 것은 불가능하다. 하지만 linearity 덕분에 basis vector들의 image만 알면 충분하다.

입력공간의 basis를 다음처럼 두자.

$$v_1,v_2,\dots,v_n$$

임의의 벡터 $v$는 basis의 linear combination으로 쓸 수 있다.

$$v=c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n$$

linear transformation을 적용하면,

$$T(v) = T(c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n)$$

선형성에 의해,

$$T(v) = c_1T(v_1)+c_2T(v_2)+\cdots+c_nT(v_n)$$

이다.

따라서 $T(v_1),T(v_2),\dots,T(v_n)$만 알면 모든 $T(v)$를 알 수 있다.

이것이 linear transformation이 basis와 깊게 연결되는 이유이다.

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13. 핵심 정리

linear transformation은 벡터를 벡터로 보내는 함수 중에서 linear combination을 보존하는 transformation이다.

핵심 조건은 다음이다.

$$T(v+w)=T(v)+T(w)$$ $$T(cv)=cT(v)$$

projection과 rotation은 linear transformation이다.

반면 평면 전체를 고정 벡터만큼 이동시키는 shift는 선형변환이 아니다. 벡터의 길이를 반환하는 transformation도 선형변환이 아니다.

모든 matrix multiplication은 linear transformation을 만든다.

$$T(v)=Av$$

그리고 linear transformation은 basis vector들이 어디로 가는지만 알면 완전히 결정된다.

다음 글에서는 basis를 선택했을 때 linear transformation이 어떻게 matrix로 표현되는지 정리한다.