2.1. Vectors and Linear Equations

선형 방정식

선형 방정식은 여러 미지수의 선형결합으로 어떤 벡터 bb를 만드는 문제이다.

행렬로 쓰면 다음과 같다.

Ax=bAx = b

여기서 AA는 계수행렬, xx는 미지수 벡터, bb는 결과 벡터이다.

선형 방정식 Ax=bAx=b는 크게 두 가지 관점으로 볼 수 있다.

  1. Column picture: AA의 열벡터들이 선형결합되어 bb를 만든다고 보는 관점이다.
  2. Row picture: AA의 각 행이 하나의 방정식을 만들고, 그 방정식들이 나타내는 직선 또는 평면의 교점을 찾는 관점이다.

Column Picture

행렬 AA의 열벡터를 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n이라고 하면, Ax=bAx=b는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan=bAx = x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots + x_na_n = b

즉, Ax=bAx=b는 AA의 열벡터들을 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n만큼 섞어서 벡터 bb를 만들 수 있는지 묻는 문제이다.

특히 b=0b=0인 경우에는 다음과 같다.

Ax=0Ax = 0

이때 항상 가능한 해는 영벡터이다.

x=(0,…,0)x = (0, \ldots, 0)

단, AA의 열벡터들이 선형종속이면 x=0x=0이 아닌 해도 존재할 수 있다.

Row Picture

Row picture에서는 Ax=bAx=b를 여러 개의 방정식으로 본다.

행렬 AA가 mm개의 row를 가진다면, Ax=bAx=b는 mm개의 방정식을 의미한다.

각 방정식은 다음과 같이 행벡터와 미지수 벡터의 내적으로 표현된다.

(row i)⋅x=bi(\text{row } i) \cdot x = b_i

미지수가 2개이면 각 방정식은 평면 위의 직선을 나타낸다.
미지수가 3개이면 각 방정식은 3차원 공간의 평면을 나타낸다.
미지수가 nn개이면 각 방정식은 nn차원 공간의 hyperplane을 나타낸다.

따라서 Row picture에서 선형 방정식의 해는 이 직선들 또는 평면들이 만나는 교점이다.

b=0b=0인 경우에는 모든 방정식이 다음 꼴이다.

(row i)⋅x=0(\text{row } i) \cdot x = 0

이 경우 모든 직선 또는 평면은 원점을 지난다.

예시: 미지수가 2개인 선형 방정식

다음 선형 방정식계를 보자.

x−2y=13x+2y=11\begin{align} x - 2y &= 1 \\ 3x + 2y &= 11 \end{align}

이 방정식의 해는 다음과 같다.

x=3,y=1x = 3, \quad y = 1

Row picture로 보면, 두 방정식은 각각 하나의 직선을 나타낸다. 두 직선은 점 (3,1)(3, 1)에서 만난다.

Column picture로 보면, 계수행렬의 두 열벡터를 적절히 선형결합해서 b=(1,11)b=(1,11)을 만드는 문제이다.

계수행렬은 다음과 같다.

A=[1−232]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

미지수 벡터와 결과 벡터는 다음과 같다.

x=[xy],b=[111]x = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

따라서 방정식계는 행렬 방정식으로 다음과 같이 표현된다.

Ax=bAx=b

구체적으로 쓰면 다음과 같다.

[1−232][xy]=[111]\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

Column picture에서는 다음 선형결합으로 볼 수 있다.

x[13]+y[−22]=[111]x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

해 x=3x=3, y=1y=1을 대입하면 다음과 같다.

3[13]+1[−22]=[39]+[−22]=[111]3 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

즉, b=(1,11)b=(1,11)은 두 열벡터의 선형결합이다.

선형대수의 기본 연산

선형대수에서는 두 가지 기본 연산이 중요하다.

첫 번째는 스칼라곱이다.

3[13]=[39]3 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \end{bmatrix}

두 번째는 벡터 덧셈이다.

[39]+[−22]=[111]\begin{bmatrix} 3 \\ 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

스칼라곱과 벡터 덧셈을 결합하면 선형결합이 된다.

cv+dwcv + dw

행렬-벡터 곱 AxAx는 결국 열벡터들의 선형결합이다.

예시: 미지수가 3개인 선형 방정식

세 미지수 xx, yy, zz를 가진 선형 방정식계를 보자.

x+2y+3z=62x+5y+2z=46x−3y+z=2\begin{align} x + 2y + 3z &= 6 \\ 2x + 5y + 2z &= 4 \\ 6x - 3y + z &= 2 \end{align}

이 방정식계의 해는 다음과 같다.

(x,y,z)=(0,0,2)(x,y,z) = (0,0,2)

Row Picture

Row picture에서는 세 개의 방정식이 각각 3차원 공간의 평면을 나타낸다.

첫 번째 방정식은 하나의 평면이고, 두 번째 방정식도 하나의 평면이며, 세 번째 방정식도 하나의 평면이다.

두 평면은 보통 하나의 직선에서 만나고, 세 평면은 보통 하나의 점에서 만난다.

이 예시에서는 세 평면이 다음 점에서 만난다.

(0,0,2)(0,0,2)

따라서 이 점이 선형 방정식계의 해이다.

Column Picture

Column picture에서는 계수행렬의 열벡터들을 선형결합해서 b=(6,4,2)b=(6,4,2)를 만드는 문제로 본다.

x[126]+y[25−3]+z[321]=[642]x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}

해가 (x,y,z)=(0,0,2)(x,y,z)=(0,0,2)이므로 다음과 같다.

0[126]+0[25−3]+2[321]=[642]0 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}

즉, 이 경우 bb는 세 번째 열벡터를 2배 한 벡터이다.

행렬곱의 두 가지 계산 방식

행렬곱 AxAx는 두 방식으로 이해할 수 있다.

1. Row 방식

Row 방식에서는 AA의 각 행과 벡터 xx를 내적한다.

(Ax)i=(row i)⋅x(Ax)_i = (\text{row } i) \cdot x

이 방식은 각각의 방정식을 계산하는 관점에 가깝다.

2. Column 방식

Column 방식에서는 AA의 열벡터들을 xx의 성분만큼 선형결합한다.

Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnanAx = x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots + x_na_n

선형대수에서는 보통 column picture가 매우 중요하다. 왜냐하면 행렬곱을 벡터공간과 선형결합의 관점에서 이해할 수 있기 때문이다.

단위행렬

단위행렬은 곱해도 벡터를 바꾸지 않는 행렬이다.

3 by 3 단위행렬은 다음과 같다.

I=[100010001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

임의의 3차원 벡터 xx에 대해 다음이 성립한다.

Ix=xIx = x

즉, 단위행렬은 숫자에서의 11과 같은 역할을 한다.

행렬 원소 표기법

행렬 AA의 5행 7열 원소는 다음과 같이 쓴다.

a57a_{57}

또는 다음처럼 표현하기도 한다.

A(5,7)A(5,7)

일반적으로 aija_{ij}는 ii행 jj열의 원소를 뜻한다.

핵심 정리

  1. 벡터의 기본 연산은 스칼라곱 cvcv와 벡터 덧셈 v+wv+w이다.

  2. 스칼라곱과 벡터 덧셈을 결합하면 선형결합이 된다.

cv+dwcv + dw
  1. 행렬-벡터 곱 AxAx는 AA의 열벡터들의 선형결합으로 이해하는 것이 중요하다.
Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnanAx = x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots + x_na_n

  1. Column picture에서 Ax=bAx=b는 AA의 열벡터들이 선형결합되어 벡터 bb를 만든다고 보는 관점이다.

  2. Row picture에서 Ax=bAx=b는 각 방정식이 직선, 평면, 또는 hyperplane을 만들고, 그 교점을 해로 보는 관점이다.

  3. 미지수가 2개이면 각 방정식은 직선이고, 미지수가 3개이면 각 방정식은 평면이다.

  4. 단위행렬 II는 벡터를 바꾸지 않는 행렬이다.

Ix=xIx = x

한 줄 요약

선형 방정식 Ax=bAx=b는 row picture에서는 여러 직선이나 평면의 교점을 찾는 문제이고, column picture에서는 AA의 열벡터들을 선형결합해 bb를 만드는 문제이다.