1. 영공간(Nullspace)의 정의

• 영공간 $N(A)$ 는 $Ax = 0$을 만족하는 모든 해 $x$ 벡터들의 집합이다.

• 이 해 $x$는 $R^n$ (n-차원 공간)에 속한다.

• $x=0$ (영벡터)는 항상 영공간 $N(A)$에 포함된다.

• $N(A)$는 $R^n$의 부분공간(subspace)이다. (즉, 영공간 내의 벡터끼리 더하거나 스칼라 배를 해도 여전히 영공간에 속한다.)

2. 소거와 영공간의 관계

• 행렬 $A$에 기본 행 연산(소거)을 적용하여 상삼각행렬 $U$나 기약 행 사다리꼴 $R$을 만들어도 영공간은 변하지 않는다.

• $N(A) = N(U) = N(R)$

• 따라서 $Ax = 0$의 해를 구하는 것은 $Rx = 0$의 해를 구하는 것과 같다.

3. 피벗 변수 vs. 자유 변수

• 피벗(Pivot): 소거 후 각 행에서 0이 아닌 첫 번째 성분.

• 피벗 변수 (Pivot Variables): 피벗을 포함하는 열(column)에 해당하는 변수들이다.

• 자유 변수 (Free Variables): 피벗이 없는 열에 해당하는 변수들이다.

• 랭크 (Rank) $r$: 행렬 $A$의 피벗의 개수이다.

• 총 $n$개의 변수($x_1, \dots, x_n$)가 있다면:

  • 피벗 변수의 개수 = $r$

  • 자유 변수의 개수 = $n - r$

4. 특수해 (Special Solutions)

• $Ax = 0$의 모든 해는 특수해들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

• 특수해는 자유 변수의 개수($n-r$)만큼 존재한다.

• 특수해를 구하는 방법:

  1. 모든 자유 변수를 0으로 설정한다. (단, 하나의 자유 변수만 1로 설정한다.)

  2. 이 값들을 $Rx = 0$에 대입하여 피벗 변수들의 값을 구한다.

  3. 이 과정을 1로 설정할 자유 변수를 바꿔가며 $n-r$번 반복한다.

• 결론: $N(A)$는 $n-r$개의 특수해 $s_1, s_2, \dots, s_{n-r}$들의 모든 선형 결합 $c_1 s_1 + \dots + c_{n-r} s_{n-r}$으로 이루어진 부분공간이다.

5. 기약 행 사다리꼴 ($\text{R} = \text{rref}(A)$)

• R (Reduced Row Echelon Form): $A$를 소거하여 만드는 가장 단순한 형태의 행렬이다.

• $R$의 특징:

  1. 모든 피벗은 1이다.

  2. 피벗이 있는 열에서, 피벗 자신을 제외한 모든 성분은 0이다. (피벗의 위, 아래가 모두 0)

• $R$을 사용하면 $Rx=0$에서 피벗 변수와 자유 변수의 관계가 명확히 드러나 특수해를 찾기 매우 쉽다.

6. 정리

• 만약 $n > m$ (미지수의 개수 > 방정식의 개수)이라면, 자유 변수의 개수 $n-r$은 최소 $n-m$ 이상이다. ( $r \le m$ 이므로)

• 따라서 $n > m$인 행렬은 항상 $x=0$ 이외의 해(nonzero solution)를 가진다.