수학 / 확률과통계
확률과통계
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확률과통계
- 21. 표본분산과 Student t, Chi-square Distribution 모분산의 불편추정량인 표본분산을 유도하고, 평균과 분산의 추론에 사용되는 Student t 및 chi-square distribution을 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 21강 평균 , 분산 인 모집단에서 IID sample 을 얻었다고 하자. Sample mean은 다음과 같다. #확률과통계
- 20. 표본분포와 중심극한정리 모집단에서 IID 표본을 추출하고, 표본평균의 평균과 분산 및 중심극한정리를 이용한 정규근사를 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 20강 Descriptive statistics는 관측한 데이터를 평균, 분산, median 같은 값으로 요약한다. 데이터가 어떤 분포에서 나왔는지 완전히 알 수 없더라도 중심과 퍼짐을 간단히 표현할 수 있다. #확률과통계
- 19. Laplace Transform과 확률생성함수 비음수 연속 확률변수의 Laplace transform과 이산 확률변수의 probability-generating function을 정의하고 주요 성질을 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 19강 비음수 연속 확률변수 에 대해 강의에서 S-transform이라 부른 함수는 다음과 같다. #확률과통계
- 18. Fourier Transform과 특성함수 Fourier transform의 기본 관점에서 확률분포의 characteristic function을 정의하고, moment와 convolution에 관한 성질을 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 18강 Chapter 6의 변환은 확률변수에 함수를 적용해 새로운 확률변수를 만드는 것이었다. 이번 transform method는 함수가 표현되는 domain 자체를 바꾼다. 시간에 따른 함수 를 angular frequency 에 따른 함수 로 변환하는 Fourier transform은 다음과 같다. #확률과통계
- 17. 다변수 변환과 난수 생성 두 확률변수를 함께 변환할 때 Jacobian으로 결합 PDF를 구하는 방법과 inverse transform 및 Box-Muller 난수 생성을 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 17강 확률변수 , 로부터 두 개의 새 확률변수 , 를 만든다고 하자. #확률과통계
- 16. 이산 Convolution과 확률분포의 합 이산 확률변수의 합을 convolution으로 구하고, binomial 및 Poisson distribution의 합이 어떤 분포가 되는지 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 16강 정수 값을 갖는 두 이산 확률변수 , 의 합을 다음과 같이 정의한다. #확률과통계
- 15. 확률변수의 합과 Convolution 두 확률변수의 합에 대한 분포를 결합 PDF에서 유도하고, 독립인 경우 convolution으로 표현되는 과정을 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 15강 두 확률변수 , 를 더해 새로운 확률변수 를 만든다. #확률과통계
- 14. 확률변수의 함수와 분포 변환 확률변수에 함수를 적용해 새 확률변수를 만들었을 때 CDF와 PDF가 어떻게 변하는지 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 14강 확률변수 와 함수 를 이용해 새로운 확률변수 를 정의할 수 있다. #확률과통계
- 13. 다변량 정규분포와 공분산 행렬 여러 확률변수의 결합분포를 다항분포와 다변량 정규분포로 확장하고, 공분산 행렬이 변수 사이의 관계를 어떻게 나타내는지 정리한다. 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 13강 두 확률변수 , 의 결합분포에서 다룬 개념은 확률변수가 개인 경우에도 그대로 확장할 수 있다. 확률변수들을 하나의 vector로 모으면 다음과 같다. #확률과통계
- 12. 조건부 기댓값, 공분산과 상관계수 전체 기댓값의 법칙과 공분산·상관계수, uncorrelated와 independent의 차이 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 12강 라는 조건 아래에서 의 평균을 구하면 다음과 같다. #확률과통계
- 11. 조건부분포와 조건부 기댓값 비직사각형 영역의 이중적분, 조건부 PMF·PDF와 조건부 기댓값 및 분산 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 11강 연속 확률변수 의 joint PDF가 일 때, 순서쌍 가 영역 에 들어갈 확률은 다음과 같다. #확률과통계
- 10. 결합분포와 주변분포 여러 확률변수의 joint CDF·PMF·PDF와 marginalization, independence 조건 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 10강 확률변수 하나를 다룰 때는 가 특정 값이나 구간에 들어갈 확률을 구했다. 두 확률변수 를 함께 다룰 때는 두 조건이 동시에 일어날 확률을 생각한다. #확률과통계
- 9. 정규분포와 정규근사 정규분포의 표준화, Gaussian integral, binomial 분포의 정규근사와 Pascal 분포 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 9강 정규분포(normal distribution)는 Gaussian 분포라고도 하며, 연속 확률변수를 모델링할 때 가장 널리 사용되는 분포 중 하나이다. 측정오차나 여러 작은 요인의 합으로 생기는 noise를 나타낼 때 자주 사용한다. #확률과통계
- 8. 지수분포와 Erlang 분포 지수분포의 memoryless 성질, Poisson process와의 관계, Erlang 분포 및 quantization noise 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 8강 단위 시간당 평균 번 발생하는 사건의 개수를 생각하자. 길이가 인 시간 구간에서 발생한 사건의 수를 라고 하면 Poisson process에서는 다음 분포를 따른다. #확률과통계
- 7. Chebyshev 부등식과 이산 확률분포 Chebyshev 부등식의 의미와 Bernoulli·binomial 분포, geometric 분포의 memoryless 성질 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 7강 확률변수 의 값을 하나의 상수 로 예측한다고 하자. 예측값과 실제값 사이의 평균 제곱오차는 다음과 같다. #확률과통계
- 6. 기하분포와 조건부 평균 첫 성공까지의 시행 횟수를 나타내는 기하분포와 평균의 오차 최소화 해석, 조건부 평균 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 6강 성공 확률이 인 독립적인 시행을 성공할 때까지 반복한다고 하자. 첫 성공이 나올 때까지 수행한 전체 시행 횟수를 확률변수 로 정의하면 는 기하분포(geometric distribution)를 따른다. #확률과통계
- 5. 기댓값, 모멘트와 분산 확률변수의 기댓값과 모멘트, 분산, 기댓값의 선형성 및 Poisson 분포 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 5강 여러 관측값 의 산술평균은 다음과 같다. #확률과통계
- 4. 연속 확률변수와 균등분포 연속 확률변수의 PDF와 CDF 관계, 균등분포, sampling과 quantization 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 4강 이산 확률변수는 가능한 값을 하나씩 셀 수 있지만, 연속 확률변수(continuous random variable)는 어떤 구간 안의 실숫값을 연속적으로 가질 수 있다. 예를 들어 시간, 길이, 온도와 같은 측정값은 보통 연속 확률변수로 모델링한다. #확률과통계
- 3. 확률변수와 확률분포 표본공간을 실수로 매핑하는 확률변수의 정의와 CDF, 이산 확률변수의 PMF 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 3강 지금까지는 표본공간의 부분집합인 사건을 중심으로 확률을 다뤘다. 이제는 실험에서 나온 각 결과를 실수에 대응시켜 확률을 함수처럼 다룬다. #확률과통계
- 2. 경우의 수와 시스템 신뢰도 순열과 조합, 이항정리와 급수 계산, Stirling 근사, 직렬·병렬 시스템의 신뢰도 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 2강 전확률 정리에서 가장 먼저 확인해야 할 것은 무엇을 분할하는가이다. #확률과통계
- 1. 확률의 기본 개념 표본공간과 사건, 조건부 확률, 전확률과 Bayes 정리, 독립 사건과 결합 시행 정리 연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 1강 확률을 다루려면 먼저 어떤 실험을 하고 있으며, 그 실험에서 어떤 결과가 나올 수 있는지를 정해야 한다. #확률과통계