Sep 7, 2026

15. 확률변수의 합과 Convolution

연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 15강

두 확률변수의 합

두 확률변수 $X$ , $Y$ 를 더해 새로운 확률변수 $S$ 를 만든다.

S=X+Y

$X$ , $Y$ 의 결합 PDF를 알고 있을 때 $S$ 의 분포를 구하는 것이 목표이다. 한 확률변수의 변환과 마찬가지로 CDF에서 시작한다.

F_S(s) = P(S\le s) = P(X+Y\le s)

$xy$ 평면에서 $x+y\le s$ 는 직선 $x+y=s$ 아래의 반평면이다. 따라서 이 영역에서 결합 PDF를 적분하면 된다.

F_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{s-y} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy

적분 순서를 바꾸면 다음과 같다.

F_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{s-x} f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx

이 식은 $X$ 와 $Y$ 가 dependent인 경우에도 사용할 수 있다. 다만 결합 PDF 자체를 알아야 하므로 각 marginal PDF만으로는 합의 분포를 정할 수 없다.

$X$ 와 $Y$ 가 independent이면 결합 PDF가 두 marginal PDF의 곱으로 분리된다.

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

이를 CDF 식에 대입하고 $s$ 에 대해 미분하면 다음 결과를 얻는다.

f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(s-x)\,dx

적분 변수의 이름을 바꾸면 다음처럼 쓸 수도 있다.

f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(s-y)f_Y(y)\,dy

이 연산이 convolution이다.

f_S = f_X*f_Y

Convolution은 두 함수 중 하나를 뒤집고, $s$ 만큼 이동시킨 뒤, 두 함수가 겹치는 부분을 곱하여 적분하는 연산으로 볼 수 있다. 식의 $f_Y(s-x)$ 에는 다음 두 변화가 함께 들어 있다.

$s$ 가 움직일 때 두 함수가 동시에 0이 아닌 구간을 정확히 찾는 것이 계산의 핵심이다. Convolution은 교환법칙을 만족하므로 어느 함수를 뒤집어도 결과는 같다.

f_X*f_Y=f_Y*f_X

$X$ 와 $Y$ 가 독립이고 다음 분포를 따른다고 하자.

X\sim U(0,1), \qquad Y\sim U(0,2)

각 PDF는 다음과 같다.

f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0\le x\le1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0\le y\le2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

$S=X+Y$ 가 가질 수 있는 범위는 $0\le s\le3$ 이다. $f_X(x)$ 와 $f_Y(s-x)$ 가 겹치는 구간이 $s$ 에 따라 달라지므로 구간을 나누어 계산한다.

f_S(s) = \begin{cases} 0, & s<0 \\ \dfrac{s}{2}, & 0\le s<1 \\ \dfrac{1}{2}, & 1\le s<2 \\ \dfrac{3-s}{2}, & 2\le s\le3 \\ 0, & s>3 \end{cases}

$0\le s<1$ 에서는 겹치는 길이가 $s$ 만큼 증가한다. $1\le s<2$ 에서는 폭이 1인 $X$ 의 support 전체가 겹친다. $2\le s\le3$ 에서는 겹치는 길이가 $3-s$ 만큼 감소한다.

$X$ , $Y$ 가 서로 독립이고 같은 rate $\lambda$ 를 갖는 exponential distribution을 따른다고 하자.

f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}, \qquad x\ge0

f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y}, \qquad y\ge0

$S=X+Y$ 가 음수가 될 수는 없다. $s>0$ 일 때 두 PDF가 함께 0이 아닌 범위는 $0\le x\le s$ 이다.

\begin{aligned} f_S(s) &= \int_0^s \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda(s-x)}\,dx \\ &= \lambda^2e^{-\lambda s} \int_0^s 1\,dx \\ &= \lambda^2s e^{-\lambda s} \end{aligned}

따라서 다음 PDF를 얻는다.

f_S(s) = \begin{cases} \lambda^2s e^{-\lambda s}, & s\ge0 \\ 0, & s<0 \end{cases}

이는 shape parameter가 2인 Erlang distribution이다. 같은 rate를 갖는 독립 exponential random variables를 $k$ 개 더하면 다음 Erlang distribution으로 확장된다.

S_k=\sum_{i=1}^{k}X_i

f_{S_k}(s) = \frac{\lambda^k s^{k-1}e^{-\lambda s}} {(k-1)!}, \qquad s\ge0

Poisson process에서 $X_i$ 를 연속한 두 사건 사이의 대기시간으로 보면 $S_k$ 는 $k$ 번째 사건까지 걸리는 전체 시간이다.

기댓값의 선형성에는 독립성 가정이 필요하지 않다.

E[X+Y] = E[X]+E[Y]

분산에는 covariance가 추가된다.

\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) +\operatorname{Var}(Y) +2\operatorname{Cov}(X,Y)

$X$ , $Y$ 가 uncorrelated이거나 independent이면 covariance가 0이므로 분산도 단순히 더해진다.

\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) +\operatorname{Var}(Y)

여러 확률변수의 합에서는 모든 분산과 서로 다른 변수 쌍의 covariance를 함께 더한다.

\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)

서로 독립인 exponential random variables를 $k$ 개 더한 $S_k$ 의 평균과 분산은 다음과 같다.

E[S_k]=\frac{k}{\lambda}, \qquad \operatorname{Var}(S_k)=\frac{k}{\lambda^2}