Sep 7, 2026

14. 확률변수의 함수와 분포 변환

연결 강의: 이상화 교수 - 확률과 통계 (HYU 2014) 14강

확률변수의 함수

확률변수 $X$ 와 함수 $g$ 를 이용해 새로운 확률변수 $Y$ 를 정의할 수 있다.

Y=g(X)

$X$ 의 분포와 함수 $g$ 를 알고 있을 때 목표는 $Y$ 의 분포를 구하는 것이다. 시뮬레이션에서 쉽게 생성할 수 있는 uniform random variable을 원하는 분포로 변환하는 문제도 이 범주에 속한다.

이산 확률변수라면 같은 $y$ 를 만드는 모든 $x$ 의 확률을 더하면 된다.

P(Y=y) = \sum_{x:g(x)=y}P(X=x)

함수가 one-to-one이 아니면 서로 다른 $x$ 가 같은 $y$ 로 합쳐질 수 있다는 점이 중요하다. 예를 들어 $X\in\{-1,0,1\}$ 이고 $Y=X^2$ 이면 $Y=1$ 의 확률은 $X=-1$ 과 $X=1$ 의 확률을 더한 값이다.

연속 확률변수에서는 한 점의 확률이 0이므로 PDF 값을 그대로 옮길 수 없다. 변환으로 구간의 폭까지 달라지기 때문에 CDF에서 출발하는 편이 안전하다.

$Y$ 의 CDF 정의에 $Y=g(X)$ 를 대입한다.

F_Y(y) = P(Y\le y) = P(g(X)\le y)

그다음 부등식을 만족하는 $X$ 의 구간을 찾고, 그 확률을 $F_X$ 로 표현한다. 마지막으로 $y$ 에 대해 미분하면 $Y$ 의 PDF를 얻는다.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)

정리하면 다음 순서이다.

함수가 단조인지, 같은 $y$ 에 대응하는 $x$ 가 몇 개인지를 그래프로 먼저 확인하면 $X$ 의 범위를 정하기 쉽다.

$a\ne0$ 일 때 다음 변환을 생각한다.

Y=aX+b

$a>0$ 이면 부등호 방향이 유지된다.

F_Y(y) = P\left(X\le\frac{y-b}{a}\right) = F_X\left(\frac{y-b}{a}\right)

$a<0$ 이면 부등호 방향이 바뀐다. 연속 확률변수에서는 한 점의 확률이 0이므로 다음처럼 쓸 수 있다.

F_Y(y) = P\left(X\ge\frac{y-b}{a}\right) = 1-F_X\left(\frac{y-b}{a}\right)

두 경우를 미분하여 합치면 다음 PDF를 얻는다.

f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)

$|a|$ 는 구간 길이가 변하는 만큼 density의 높이를 반대로 조정한다. $|a|>1$ 이면 값의 범위가 넓어지므로 PDF는 낮아지고, $0<|a|<1$ 이면 범위가 좁아지므로 PDF는 높아진다. 이렇게 해야 전체 넓이가 계속 1로 유지된다.

$g$ 가 미분 가능하고 strictly monotonic이라고 하자. 이때 $y=g(x)$ 를 만족하는 해는 하나이고 다음처럼 쓸 수 있다.

x=g^{-1}(y)

변환된 PDF는 다음과 같다.

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|

역함수 미분을 사용하면 같은 식을 다음처럼 표현할 수 있다.

f_Y(y) = \frac{f_X(x)}{|g'(x)|} \bigg|_{x=g^{-1}(y)}

$|g'(x)|$ 가 크다는 것은 작은 $x$ 구간이 넓은 $y$ 구간으로 늘어난다는 뜻이다. 따라서 같은 확률을 유지하려면 $Y$ 의 density는 그 비율만큼 작아져야 한다.

$g$ 가 one-to-one이 아니면 하나의 $y$ 에 여러 $x$ 가 대응한다. $g(x)=y$ 를 만족하는 서로 다른 해를 $x_1(y),\ldots,x_m(y)$ 라고 하자. 각 해에서 $g'(x_i)\ne0$ 이면 PDF는 모든 원상의 기여를 더한 값이다.

f_Y(y) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_X(x_i(y))} {|g'(x_i(y))|}

해의 개수는 $y$ 의 범위에 따라 달라질 수 있다. 굴곡이 있는 함수라면 구간별로 $g(x)=y$ 의 교점 수를 확인하고 PDF를 나누어 정의해야 한다.

다음 변환에서는 $Y$ 가 음수가 될 수 없다.

Y=X^2

$y>0$ 일 때 $x^2=y$ 의 해는 두 개이다.

x_1=-\sqrt{y}, \qquad x_2=\sqrt{y}

$g'(x)=2x$ 이므로 일반식을 적용하면 다음과 같다.

f_Y(y) = \frac{ f_X(-\sqrt{y})+f_X(\sqrt{y}) }{2\sqrt{y}}, \qquad y>0

$y<0$ 에서는 $f_Y(y)=0$ 이다.

$X$ 가 standard normal distribution을 따르면 PDF가 원점에 대해 대칭이므로 다음 결과를 얻는다.

f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \qquad y>0

이는 자유도가 1인 chi-square distribution이다.

$Y=g(X)$ 의 기댓값만 필요하다면 먼저 $f_Y$ 를 구할 필요가 없다. $X$ 의 분포에 대해 $g(X)$ 를 직접 평균내면 된다.

이산 확률변수에서는 다음과 같다.

E[g(X)] = \sum_x g(x)p_X(x)

연속 확률변수에서는 다음과 같다.

E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)\,dx

이 성질을 LOTUS(Law of the Unconscious Statistician)라고 부른다. 분산을 구할 때 $X^2$ 의 PDF를 따로 유도하지 않고 $E[X^2]$ 를 계산했던 것도 같은 원리이다.

이번 강의에서는 하나의 확률변수로 하나의 새 확률변수를 만드는 경우를 다루었다. 이후에는 여러 확률변수의 함수로 범위를 넓힌다.

특히 independent random variables의 합은 각 PDF의 convolution으로 표현된다.