핵심 한 줄 정리

Neural network는 여러 linear transformation 사이에 nonlinearity를 넣어 복잡한 함수를 표현하고, backpropagation은 chain rule을 이용해 loss가 각 parameter에 미치는 영향을 효율적으로 계산하는 방법이다.

이전 강의와의 연결

Lecture 3에서는 loss function을 정의하고, regularization과 optimization으로 좋은 weight를 찾는 방법을 봤다.
하지만 지금까지의 모델은 여전히 linear classifier라서, 선 하나로 나눌 수 없는 데이터에는 한계가 있다.

이제 Lecture 4에서는 이 한계를 넘기 위해 여러 개의 linear layer 사이에 nonlinearity를 넣는 neural network를 본다.

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Two-layer Neural Network

기본 형태:

$$h = \max(0, W_1x)$$ $$s = W_2h$$

한 줄로 쓰면:

$$s = W_2 \max(0, W_1x)$$

• $x$: input vector
• $W_1$: input -> hidden layer weight
• $h$: hidden layer activation
• $W_2$: hidden -> output layer weight
• $s$: output score
• $\max(0, \cdot)$: ReLU activation

Bias 포함:

$$h = \max(0, W_1x + b_1)$$ $$s = W_2h + b_2$$

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Activation Function

Activation function의 역할:

• Linear transformation 사이에 nonlinearity를 추가한다.
• 복잡한 decision boundary를 만들 수 있게 한다.
• Neural network가 nonlinear problem을 풀 수 있게 한다.

ReLU:

$$\text{ReLU}(x) = \max(0, x)$$

Piecewise form:

$$\text{ReLU}(x) = \begin{cases} x & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \le 0 \end{cases}$$

ReLU gradient:

$$\frac{d}{dx}\text{ReLU}(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases}$$

주의
$x = 0$에서는 미분 불가능하지만, 구현에서는 보통 0 또는 1 중 하나로 처리한다.

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Dead Neuron

ReLU의 문제:

• 입력이 계속 음수이면 output이 계속 0이다.
• Gradient도 0이므로 weight update가 잘 안 된다.
• 이 상태를 dead neuron이라고 한다.

Leaky ReLU:

$$\text{LeakyReLU}(x) = \begin{cases} x & \text{if } x > 0 \\ \alpha x & \text{if } x \le 0 \end{cases}$$

• $\alpha$: 작은 양수
• 음수 영역에서도 gradient가 완전히 0이 되지 않는다.

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Sigmoid와 Tanh

Sigmoid:

$$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$

• output range: $0$부터 $1$ 사이이다.

Tanh:

$$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

• output range: $-1$부터 $1$ 사이이다.

주의:

• 값을 좁은 범위로 squash한다.
• 입력 절댓값이 커지면 gradient가 작아진다.
• Vanishing gradient 문제가 생길 수 있다.
• Hidden layer에서는 보통 ReLU 계열을 많이 쓴다.

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Fully Connected Network와 MLP

MLP 구조:

$$h_1 = \phi(W_1x + b_1)$$ $$h_2 = \phi(W_2h_1 + b_2)$$ $$s = W_3h_2 + b_3$$

• $\phi$: activation function
• $h_1$, $h_2$: hidden layer activation
• $s$: output score

핵심:

• Fully connected network는 이전 layer의 모든 neuron이 다음 layer의 모든 neuron과 연결된 구조이다.
• Layer가 많아지면 표현력은 커진다.
• 하지만 학습 난이도와 overfitting 위험도 커진다.

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Network Capacity와 Regularization

Hidden neuron 수가 많아지면:

• model capacity가 커진다.
• 더 복잡한 function을 표현할 수 있다.
• decision boundary가 복잡해질 수 있다.
• overfitting 위험이 커진다.

강의 핵심:

• 보통 network size 자체를 주된 regularizer로 쓰지는 않는다.
• 어느 정도 큰 network를 두고 regularization strength를 조절하는 경우가 많다.

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Computational Graph

Computational graph:

• node: 연산
• edge: 값이 흐르는 방향
• input에서 loss까지 계산 과정을 graph로 표현한다.

예시:

$$s = f(x, W)$$ $$L = L_{\text{data}}(s, y) + R(W)$$

장점:

• 복잡한 함수를 작은 연산 단위로 나눌 수 있다.
• 각 node의 local gradient만 계산하면 된다.
• Chain rule로 전체 gradient를 구할 수 있다.

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Backpropagation

Forward pass:

• input -> output 방향으로 값을 계산한다.

Backward pass:

• loss -> input 방향으로 gradient를 전파한다.

용어:

• upstream gradient:

  • 뒤쪽 node에서 현재 node로 들어오는 gradient이다.

• local gradient:

  • 현재 node의 output을 input에 대해 미분한 값이다.

• downstream gradient:

  • 현재 node가 앞쪽 node로 전달하는 gradient이다.

핵심 식:

$$\text{downstream gradient} = \text{upstream gradient} \times \text{local gradient}$$

직관
뒤에서 온 gradient에 현재 node의 local derivative를 곱해서 앞쪽으로 넘긴다.

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자주 나오는 Gate Pattern

Add gate:

$$z = x + y$$ $$\frac{\partial z}{\partial x} = 1$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 1$$

• Upstream gradient가 양쪽 input으로 그대로 전달된다.

Multiply gate:

$$z = xy$$ $$\frac{\partial z}{\partial x} = y$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = x$$

• 한쪽 gradient를 구할 때 반대쪽 값이 곱해진다.
• Swap처럼 생각하면 된다.

Copy gate:

• 하나의 값이 여러 경로로 사용되는 경우이다.
• Backward pass에서는 여러 경로에서 온 gradient를 더한다.

$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L_1}{\partial x} + \frac{\partial L_2}{\partial x}$$

Max gate:

$$z = \max(x, y)$$

• Forward pass에서 선택된 쪽으로만 gradient가 흐른다.
• 선택되지 않은 쪽 gradient는 0이다.

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헷갈린 수식 / shape

Two-layer Neural Network Shape

입력 차원 $D$, hidden neuron 수 $H$, class 수 $C$라고 하면:

$$x \in \mathbb{R}^{D}$$ $$W_1 \in \mathbb{R}^{H \times D}$$ $$h \in \mathbb{R}^{H}$$ $$W_2 \in \mathbb{R}^{C \times H}$$ $$s \in \mathbb{R}^{C}$$

흐름:

• $x$: $D$차원 input
• $W_1x$: $H$차원 hidden representation
• $W_2h$: $C$차원 class score

체크
Matrix multiplication이 가능한지 항상 shape으로 확인해야 한다.

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Activation Function이 없을 때

Activation function이 없으면:

$$s = W_2W_1x$$

합치면:

$$W_3 = W_2W_1$$

결국:

$$s = W_3x$$

핵심
Nonlinearity가 없으면 layer를 여러 개 쌓아도 linear model이다.

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Backpropagation 예제: $f(x, y, z) = (x+y)z$

함수:

$$f(x, y, z) = (x+y)z$$

중간 변수:

$$q = x + y$$ $$f = qz$$

값:

$$x = -2,\quad y = 5,\quad z = -4$$

Forward pass:

$$q = x + y = -2 + 5 = 3$$ $$f = qz = 3 \cdot (-4) = -12$$

Local gradient:

$$\frac{\partial q}{\partial x} = 1$$ $$\frac{\partial q}{\partial y} = 1$$ $$\frac{\partial f}{\partial q} = z$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = q$$

값 대입:

$$\frac{\partial f}{\partial q} = -4$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = 3$$

Chain rule:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial x} = (-4)(1) = -4$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial y} = (-4)(1) = -4$$

최종:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = -4$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = -4$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = 3$$

헷갈린 점
$x$, $y$는 $f$에 직접 연결된 것이 아니라 $q$를 거쳐 연결된다. 그래서 chain rule이 필요하다.

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Sigmoid Derivative

함수:

$$f(w, x) = \frac{1}{1 + e^{-(w_0x_0 + w_1x_1 + w_2)}}$$

Linear part:

$$a = w_0x_0 + w_1x_1 + w_2$$

Sigmoid 적용:

$$f = \sigma(a)$$

Sigmoid:

$$\sigma(a) = \frac{1}{1 + e^{-a}}$$

Derivative:

$$\frac{d\sigma(a)}{da} = \sigma(a)(1-\sigma(a))$$

핵심
Forward pass에서 $\sigma(a)$를 저장해두면 backward pass에서 derivative를 바로 계산할 수 있다.

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Scalar, Vector, Matrix Gradient Shape

Scalar to scalar:

$$\frac{dy}{dx}$$

• derivative도 scalar이다.

Vector to scalar:

$$x \in \mathbb{R}^{N}$$ $$L \in \mathbb{R}$$ $$\frac{\partial L}{\partial x} \in \mathbb{R}^{N}$$

• gradient는 $x$와 같은 shape이다.

Vector to vector:

$$x \in \mathbb{R}^{N}$$ $$y \in \mathbb{R}^{M}$$

Jacobian:

$$\frac{\partial y}{\partial x} \in \mathbb{R}^{M \times N}$$

원소별 의미:

$$J_{ij} = \frac{\partial y_i}{\partial x_j}$$

핵심
Loss $L$은 scalar이므로, 어떤 variable에 대한 gradient는 그 variable과 같은 shape을 가진다.

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ReLU Vector Backpropagation

ReLU는 element-wise operation이다.

$$y = \max(0, x)$$

원소별:

$$y_i = \max(0, x_i)$$

Jacobian은 diagonal matrix이다.

$$\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = 0 \quad \text{if } i \ne j$$

대각 원소:

$$\frac{\partial y_i}{\partial x_i} = \begin{cases} 1 & \text{if } x_i > 0 \\ 0 & \text{if } x_i \le 0 \end{cases}$$

ReLU backward:

$$dx_i = \begin{cases} dy_i & \text{if } x_i > 0 \\ 0 & \text{if } x_i \le 0 \end{cases}$$

• $dy_i$: upstream gradient
• $dx_i$: downstream gradient

주의
실제 구현에서는 큰 Jacobian을 만들지 않고, $x_i > 0$인 위치에만 gradient를 통과시킨다.

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Matrix Multiplication Backpropagation

Forward:

$$Y = XW$$

Shape:

$$X \in \mathbb{R}^{N \times D}$$ $$W \in \mathbb{R}^{D \times M}$$ $$Y \in \mathbb{R}^{N \times M}$$

원소별:

$$Y_{n,m} = \sum_{d=1}^{D} X_{n,d}W_{d,m}$$

Upstream gradient:

$$dY = \frac{\partial L}{\partial Y}$$

Backward rule:

$$dX = dY W^T$$ $$dW = X^T dY$$

Shape 확인:

$$dY \in \mathbb{R}^{N \times M}$$ $$W^T \in \mathbb{R}^{M \times D}$$ $$dX \in \mathbb{R}^{N \times D}$$

따라서 $dX$는 $X$와 같은 shape이다.

또한:

$$X^T \in \mathbb{R}^{D \times N}$$ $$dW \in \mathbb{R}^{D \times M}$$

따라서 $dW$는 $W$와 같은 shape이다.

핵심
Matrix multiplication의 backward는 반드시 shape으로 검산해야 한다.

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Jacobian을 직접 만들지 않는 이유

Matrix multiplication을 Jacobian으로 직접 표현하면 너무 크다.

예시:

• Mini-batch size: 64
• Feature dimension: 4096
• Jacobian을 직접 저장하거나 곱하는 것은 비효율적이다.

대신 operation별 backward rule을 사용한다.

$$dX = dY W^T$$ $$dW = X^T dY$$

정리
Deep learning framework는 거대한 Jacobian을 직접 만들지 않는다. 연산별로 효율적인 backward function을 쓴다.

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과제에서 확인할 것

• 놓치지 말 것은 lecture 2 reading assignment / slides에 포함된 hinge loss, SVM loss 예시이다.
• Softmax loss만 보는 것이 아니라, hinge loss가 score를 probability로 바꾸지 않는다는 점을 같이 확인한다.

$$L_i = \sum_{j \ne y_i} \max(0, s_j - s_{y_i} + \Delta)$$

• 이번 강의에서 구현과 직접 연결되는 부분은 two-layer neural network의 forward pass와 analytical gradient 계산이다.
• 특히 강의에서 강조한 흐름은 다음이다.

$$\text{forward pass} \quad \text{then} \quad \text{backward pass}$$

• 과제에서 따로 체크할 만한 강의 언급은 다음 정도이다.
  • hinge loss / SVM loss는 lecture 2 reading assignment에 예시가 있음
  • optimizer 세부 내용은 lecture 3 참고
  • two-layer neural network 구현은 dimension 설정, forward pass, loss 계산, analytical gradient 계산 흐름을 확인